ECUACIONES CUADRATICAS

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo:
Resolver la ecuación    x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
                                 ax² + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales.
 
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x² + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10

3x²  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x² + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: 
 

Solución por factorización

 

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos

1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3

Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x² + 5x − 12 = 0
2x² + 5x = 12
2x² − 12 = − 5x

a continuacion les dejamos un link para que vean la explicacion
acuaciones cuadraticas

Logaritmos

Es posible que todos hemos escuchado acerca de los logaritmos, la mayoría de las veces nos asusta ver palabras y números juntos pero son muy simples de aprender.

 El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Donde  a = base  ,  X = numero ,  Y = solución


Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación, como en este ejemplo:

El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia al expresarla como logaritmo:

Propiedades de los logaritmos

TEOREMA DE EUCLIDES

De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de sus vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos.

Además de estas y otras obras, Euclides escribió Los Datos que trata de la resolución de problemas, dándose elementos de la figura y determinándose otros. Los Porismos es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geométricos y de proposiciones sobre transversales. Muchos piensan que esta ha sido la mejor obra de Euclides.

A continuación se presentan dos Teoremas de Euclides, uno referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.

Teorema de Euclides referido a un cateto

“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

Demostración:

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):

donde

DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)

AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)

c = p + q

Por semejanza (~) de triángulos, el   ΔACB ~  ΔCDB (son semejantes)

Luego;

Que es lo mismo que:

De forma análoga se tiene que ΔACB  ~  ΔADC (a la derecha) ,entonces

Que es lo mismo que:

  

 

Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

Por lo tanto,

  

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar a,

si c = 7 y q = 4

2) En la figura a la izquierda, determinar b

si c = 4 y p = 1

 

Teorema de Euclides relativo a la altura

“En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”

Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales.

Sea hc  (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)

Entonces:

Reemplazando:

Llegamos a: 

A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.

Por lo tanto,  si   h² = p • q    

entonces             

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar h,

si p = 2 y q = 8

2) En la figura a la izquierda, determinar h,

si p = 3 y q = 12

 

La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo, haciendo:

 

ACA LES DEJAMOS UN ENLACE PARA QUE VEAN MEJOR ESTE TEMA
Teorema de Euclides

FACTORIZACION

Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos:

Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.

Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.

Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.

La parte numérica de un término se denomina coeficiente.

Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.

Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.

Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.

En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado.

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.

Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.

Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.

Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.

Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3

Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias.

Descomposición de números naturales en sus factores primos

Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes formas:

20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5

En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son los factores.

Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada uno de los números (2 y 10) se les denomina factor.

En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5, los factores son 4 y 5.

Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20.

Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 • 3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.

Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad el número se denomina primo.